Question

已知橢圓的兩條對稱軸是坐標(biāo)軸，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長為6，且cos∠OFA=

2

3

，求橢圓方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，對橢圓的焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，和橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，然后，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．

解答： 解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=6，
∴a=3，
cos∠OFA=

2

3

=

c

a

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=5，
∴

x2

9

+

y2

5

=1．
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=6，
∴a=3，
cos∠OFA=

2

3

=

c

a

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=5，
∴

y2

9

+

x2

5

=1．
綜上，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為：

x2

9

+

y2

5

=1．
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為：

y2

9

+

x2

5

=1．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了橢圓的概念、性質(zhì)和方程，屬于中檔題．