Question

已知

a

=（sinx，cosx）、

b

=（sinx，3cosx）、

c

=（-cosx，-sinx），f（x）=

a

•（

b

-

c

）．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期．
（2）f（x）按向量（

π

6

，1）平移后得到g（x），求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運用數(shù)量積公式得；f（x）=

a

•（

b

-

c

）=1+2cos²x+2sinxcosx=

2

sin（2x+

π

4

）+2，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解即可．（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式
-

π

2

+2πk≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，-

5π

12

+2πk≤2x≤2kπ+

7π

12

，k∈z，即可得出解集．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，cosx）、

b

=（sinx，3cosx）、

c

=（-cosx，-sinx），
∴f（x）=

a

•（

b

-

c

）=1+2cos²x+2sinxcosx=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴函數(shù)f（x）的最大值為

2

，最小正周期π；
（2）f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2
∵按向量（

π

6

，1）平移后得到g（x），
∴g（x）=

2

sin（2x-

π

12

）+3，
∵-

π

2

+2πk≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
∴-

5π

12

+2πk≤2x≤2kπ+

7π

12

，k∈z，
所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

5π

12

+2πk，2kπ+

7π

12

]，k∈z，

點評：本題考查了三角函數(shù)和向量的數(shù)量積的運算，難度不是很大，屬于中檔題．