Question

2013年6月“神舟”發(fā)射成功．這次發(fā)射過程共有四個(gè)值得關(guān)注的環(huán)節(jié)，即發(fā)射、實(shí)驗(yàn)、授課、返回．據(jù)統(tǒng)計(jì)，由于時(shí)間關(guān)系，某班每位同學(xué)收看這四個(gè)環(huán)節(jié)的直播的概率分別為

3

4

、

1

3

、

1

2

、

2

3

，并且各個(gè)環(huán)節(jié)的直播收看互不影響．
（Ⅰ）現(xiàn)有該班甲、乙、丙三名同學(xué)，求這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播的概率；
（Ⅱ）若用X表示該班某一位同學(xué)收看的環(huán)節(jié)數(shù)，求X的分布列與期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)“這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播”為事件A，利用n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式能求出這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播的概率．
（Ⅱ）由已知條件知X可能取值為0，1，2，3，4．分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“這3名同學(xué)至少有2名同學(xué)收看發(fā)射直播”為事件A，
則P(A)=

C

2 3

(

3

4

)2×(1-

3

4

)+

C

3 3

(

3

4

)3=

27

32

．…（4分）
（Ⅱ）由條件可知X可能取值為0，1，2，3，4．
P(X=0)=(1-

3

4

)×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)×(1-

2

3

)=

1

36

；

P(X=1)= 3 4 ×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )× 1 3 ×(1- 1 2 )×(1- 2 3 ) +(1- 3 4 )×(1- 1 3 )× 1 2 ×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )× 2 3 = 13 72 ；

P(X=2)= 3 4 × 1 3 ×(1- 1 2 )×(1- 2 3 )+ 3 4 ×(1- 1 3 )× 1 2 ×(1- 2 3 )+ 3 4 ×(1- 1 3 )×(1- 1 2 )× 2 3 +(1- 3 4 )× 1 3 × 1 2 ×(1- 2 3 )+(1- 3 4 )× 1 3 ×(1- 1 2 )× 2 3 +(1- 3 4 )×(1- 1 3 )× 1 2 × 2 3 = 7 18 ；

P(X=3)=(1- 3 4 )× 1 3 × 1 2 × 2 3 + 3 4 ×(1- 1 3 )× 1 2 × 2 3 + 3 4 × 1 3 ×(1- 1 2 )× 2 3 + 3 4 × 1 3 × 1 2 ×(1- 2 3 )= 23 72 ；

P(X=4)=

3

4

×

1

3

×

1

2

×

2

3

=

1

12

；
∴X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	1 36	13 72	7 18	23 72	1 12

…（10分）
X的期望E(X)=0×

1

36

+1×

13

72

+2×

7

18

+3×

23

72

+4×

1

12

=

9

4

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式的靈活運(yùn)用．