Question

16．解不等式：（a+1）x²+ax-1＞0．

Answer 1

分析 討論a+1=0時，不等式的解集是什么，a+1≠0時，不等式可化為[（a+1）x-1]（x+1）＞0，
再討論$\frac{1}{a+1}$與-1的大小，以及a+1的正負，從而求出不等式的解集．

解答 解：當a+1=0即a=-1時，不等式化為-x-1＞0，解得x＜-1；
當a+1≠0即a≠-1時，不等式化為[（a+1）x-1]（x+1）＞0，
且不等式對應的方程兩個實數根為x=$\frac{1}{a+1}$和x=-1；
若a=-2，則$\frac{1}{a+1}$=-1，不等式化為（x+1）²＜0，此時無解；
若a＜-2，則0＞$\frac{1}{a+1}$＞-1，不等式化為（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＜0，解得-1＜x＜$\frac{1}{a+1}$；
若-1＞a＞-2，則$\frac{1}{a+1}$＜-1，不等式化為（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＜0，解得$\frac{1}{a+1}$＜x＜-1；
若a＞-1，則$\frac{1}{a+1}$＞0＞-1，不等式化為（x-$\frac{1}{a+1}$）（x+1）＞0，解得x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$；
所以，a=-1時，不等式的解集為{x|x＜-1}；
a=-2時，不等式的解集為∅，
a＜-2時，不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{a+1}$}，
-2＜a＜-1時，不等式的解集為{x|$\frac{1}{a+1}$＜x＜-1}，
a＞-1時，不等式的解集為{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a+1}$}．

點評 本題考查了含有字母系數的不等式的解法與應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是基礎性題目．