Question

8．如圖，在以AE=2為直徑的半圓周上，B，C，D分別為弧AE的四等分點．
（1）以O(shè)為起點，從A，B，C，D，E這5個點中任取一點為終點得到一個向量$\overrightarrow{a}$，求滿足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影為正的概率；
（2）以O(shè)為起點，從A，B，C，D，E這5個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，求這兩個向量垂直的概率．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影為正的事件個數(shù)，進而根據(jù)概率定義，計算即可；
（2）通過列舉法，列出所有滿足條件的向的基本事件數(shù)，然后觀察符合條件的基本事件，計算即可．

解答 解：（1）以O(shè)點為起點，從A，B，C，D，E，這5個點中任取一點為終點得到一個向量$\overrightarrow{a}$，
所有的基本事件有：$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$，共5個；
其中滿足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影為正的有$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，共2個；
∴滿足$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{OA}$上的射影為正的概率P=$\frac{2}{5}$；
（2）以O(shè)點為起點，從A，B，C，D，E，這5個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量所有的基本事件有：
（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$），
（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OE}$），（$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$），共10個，
其中這兩個向量垂直的有：（$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$），（$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OD}$），（$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OE}$），共3個，
故這兩個向量垂直的概率P=$\frac{3}{10}$．

點評 本題主要考查了概率的求法以及向量的有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．