Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）求證：平面PBD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）利用中位線定理證明OM∥PB，即可證明OM∥平面PAB；
（2）由線線垂直證明BD⊥平面PAC，再證明平面PBD⊥平面PAC．

解答 解：（1）證明：在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點(diǎn)，
所以O(shè)M∥PB，
因?yàn)镺M?平面PAB，
PB?平面PAB，
所以O(shè)M∥平面PAB；
（2）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD；
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又因?yàn)锳C?平面PAC，
PA?平面PAC，AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)锽D?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了推理與證明能力，是基礎(chǔ)題目．