Question

15．已知銳角△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC的周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量平行列出方程，使用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可求得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，結(jié)合B的范圍得出B的值；
（Ⅱ）利用正弦定理求出a=2sinA，c=2sinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得△ABC的周長(zhǎng)L=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$=（2sinB，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
∴2sinBcosB+$\sqrt{3}$cos2B=0
即sin2B+$\sqrt{3}$cos2B=0，
∴2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0…4分
∵角B為銳角，2B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），可得：2B+$\frac{π}{3}$=π，
∴B=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=2$，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴△ABC的周長(zhǎng)L=a+c+$\sqrt{3}$=2sinA+2sinC+$\sqrt{3}$
=2sinA+2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，…10分
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，三角形周長(zhǎng)最大，最大值為3$\sqrt{3}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，平面向量的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．