Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-1為偶函數(shù)，且f（-1）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-1為偶函數(shù)，且f（-1）=0可求得b=0，a=1，從而可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）依題意，分離參數(shù)k，可得k≤x+

3

x

-6恒成立，x∈（0，1）．利用雙鉤函數(shù)y=x+

3

x

-6在（0，1）上單調(diào)遞減的性質(zhì)，即可求得實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx-1為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即ax²-bx-1=ax²+bx-1，解得b=0；
又f（-1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=x²-1．
（2）∵對?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，
∴（x-2）²-1≥（2+k）x在x∈（0，1）時恒成立，
∴k≤x+

3

x

-6恒成立，x∈（0，1）．
∵y=x+

3

x

-6在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴x→1時，y=x+

3

x

-6→-2，
∴k≤-2．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，著重考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．