Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面xOy中，△A_jB_jA_j+1（其中j=1，2，n，…）為正三角形，且滿足

OA1

=（-

1

4

，0），

AjAj+1

=（2j-1，0），記點(diǎn)B_j的坐標(biāo)為（x_j，y_j）．
（Ⅰ）計(jì)算x₁•x₂•x₃，并猜想x_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）依題意知，點(diǎn)A₁（-

1

4

，0），且

A1A2

=（1，0），可求得點(diǎn)A₂（

3

4

，0），于是可得x₁=

- 1 4 + 3 4

2

=

1

4

，同理可得x₂=

9

4

，x₃=

25

4

，于是猜想，x_n=

(2n-1)2

4

；
（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知x₁=

1

4

=

(2×1-1)2

4

，命題成立，②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，去推證n=k時(shí)命題成立即可．

解答： （Ⅰ）解：根據(jù)題意知，點(diǎn)A₁（-

1

4

，0），且

A1A2

=（1，0），所以點(diǎn)A₂（

3

4

，0），
所以x₁=

- 1 4 + 3 4

2

=

1

4

，…2分
同理x₂=

3 4 + 15 4

2

=

9

4

，…3分
x₃=

15 4 + 35 4

2

=

25

4

…4分
猜想，x_n=

(2n-1)2

4

…6分
（Ⅱ）證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，根據(jù)上一問(wèn)的計(jì)算知，x₁=

1

4

=

(2×1-1)2

4

，所以命題成立；…8分
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即x_k=

(2k-1)2

4

，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k+

| AkAk+1 |

2

+

| Ak+1Ak+2 |

2

=x_k+

2k-1

2

+

2k+1

2

=

(2k-1)2

4

+2k=

(2k+1)2

4

=

[2(k+1)-1]2

4

，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立…11分
由①②知，對(duì)任意n∈N^*命題都成立…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及遞推關(guān)系式的應(yīng)用，突出分析運(yùn)算能力與推理證明能力的考查，屬于難題．