Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，點F在棱B₁B上，且滿足B₁F=2BF．
（1）求證：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上確定一點G，使A、E、G、F四點共面，并求此時C₁G的長；
（3）求幾何體ABFED的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)B₁D₁，BD，由已知條件推導(dǎo)出A₁C₁⊥DD₁，從而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能證明EF⊥A₁C₁．
（2）以點D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（3）以BFED為底，A到平面的距離為高，即可求出幾何體ABFED的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)B₁D₁，BD，∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：以點D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E（0，0，

1

2

a），F(xiàn)（a，a，

1

3

a），
∴

A1C1

=（-a，a，0），

EF

=（-a，a，0），

EF

=（a，a，-

1

6

a）．
設(shè)G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在實數(shù)λ，使得

FG

=λ

AE

．
∵

AE

=（-a，0，

1

2

a），

FG

=（-a，0，h-

1

3

a），
∴λ=1，h=

5

6

a
∴C₁G=

1

6

a．
∴當(dāng)C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（3）解：幾何體ABFED的體積為

1

3

•

1

2

•(

a

3

+

a

2

)•

2

2

a•

2

a=

5

36

a3．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、四點共面、二面角的平面角、空間向量及坐標(biāo)運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力