Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30，斜邊AC上的中線BD=2，現(xiàn)沿BD將△BCD折起成三棱錐C-ABD，已知G是線段BD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是CG，AG的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）三棱錐C-ABD中，若棱AC=

10

，求三棱錐A一BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用三角形的中位線，可得EF∥AC，再由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC；
（2）由余弦定理計(jì)算AG，再利用勾股定理，可得CG⊥AG，從而CG⊥平面ABD，即可求三棱錐A一BCD的體積．

解答： （1）證明：∵EF是△AGC的中位線，
∴EF∥AC…（3分）
又AC?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC      …（6分）
（2）解：在△ADG中，∠ADB=120°，AD=2，DG=1，
由余弦定理得：AG²=2²+1²-2×2×1cos120°=7，…（8分）
而CG²=3，AC²=10，
∴AC²=AG²+CG²
即CG⊥AG，
又CG⊥BD，∴CG⊥平面ABD…（10分）
∴VABCD=

1

3

•S△ABD•CG=

1

3

×

1

2

×2×2sin120°×

3

=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定，考查了三棱錐的體積計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算能力．