Question

10．定義：在等式（x²+x+1）ⁿ=${D}_{n}^{0}{x}^{2n}$${+D}_{n}^{1}{x}^{2n-1}{+D}_{n}^{2}{x}^{2n-2}+…{+D}_{n}^{2n-1}x{+D}_{n}^{2n}$（n∈N）中，把${D}_{n}^{0}{，D}_{n}^{1}{，D}_{n}^{2}$，…，${D}_{n}^{2n}$叫做三項式的n次系數(shù)列（如三項式的1次系數(shù)列是1，1，1）．
（1）填空：三項式的2次系數(shù)列是1，2，3，2，1；三項式的3次系數(shù)列是1，3，6，7，6，3，1．
（2）由楊輝三角數(shù)陣表可以得到二項式系數(shù)的性質(zhì)${C}_{n+1}^{k}{=C}_{n}^{k}{+C}_{n}^{k-1}$，類似的請用三項式n次系數(shù)列中的系數(shù)表示${D}_{n+1}^{k+1}$（1≤k≤2n-1，k∈N）（無須證明）；
（3）求${D}_{6}^{3}$的值．

Answer 1

分析 （1）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系數(shù)列．同理根據(jù)（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系數(shù)列．
（2）①②如圖所示：根據(jù)三項式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，可得結(jié)論．
（3）根據(jù)三項式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，再利用組合數(shù)公式的性質(zhì)，可用二項式系數(shù)表示

解答 解：（1）∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴三項式的2次系數(shù)列是1，2，3，2，1；
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴三項式的3次系數(shù)列是1，3，6，7，6，3，1．
（2）${D}_{n+1}^{k+1}$=${D}_{n}^{k-1}+{D}_{n}^{k}+{D}_{n}^{k+1}$（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（3）由（2）${D}_{6}^{3}$表示（x²+x+1）⁶的展開式中x⁹的系數(shù)，所以${D}_{6}^{3}$=${C}_{6}^{4}{C}_{2}^{1}+{C}_{6}^{3}{C}_{3}^{3}$=50．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．