Question

如圖，在三棱柱中，平面，，， ，分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）根據題意可根據中點證平行四邊形得線線平行，再根據線面平行的性質定理得線面平行。（Ⅱ）由已知條件易得平面．由（Ⅰ）知∥，即平面。根據面面垂直的判定定理可得平面平面。（Ⅲ）法一普通方法：可用等體積法求點到面的距離，再用線面角的定義找到線面角后求其正弦值。此法涉及到大量的計算，過程較繁瑣；法二空間向量法：建立空間直角坐標系后先求面的法向量。與法向量所成角余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值。
試題解析：證明：（Ⅰ）
取的中點，連結，交于點，可知為中點，

連結，易知四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面．           4分
證明：（Ⅱ）因為，且是的中點，
所以．
因為平面，所以．
所以平面．
又∥，所以平面．
又平面，
所以平面平面．          ９分
解：（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標系，
則，, ，．
，，．
設平面的法向量為.
則
所以
令.則.
設向量與的夾角為，則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.             14分