Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1，m∈R，若x∈〔-2，4〕
（1）求f（x）的最小值g（min）；
（2）求f（x）的最大值g（max）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=m-

3

2

，再分對(duì)稱(chēng)軸在閉區(qū)間[-2，4]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最小值．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=m-

3

2

，分對(duì)稱(chēng)軸小于1和大于或等于1兩種情況，分別求得函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=m-

3

2

，
當(dāng)m-

3

2

＜-2時(shí)，函數(shù)在[-2，4]上是增函數(shù)，最小值g（min）=g（-2）=m²+4m-3．
當(dāng)m-

3

2

∈[-2，4]時(shí)，最小值g（min）=g（m-

3

2

）=3m-

13

4

．
當(dāng)m-

3

2

＞4時(shí)，函數(shù)在[-2，4]上是減函數(shù)，最小值g（min）=g（4）=m²-8m+27．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-（2m-3）x+m²-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=m-

3

2

，
當(dāng)m-

3

2

＜1時(shí)，函數(shù)的最大值g（max）=g（4）=m²-8m+27．
當(dāng)m-

3

2

≥1時(shí)，函數(shù)的最大值g（max）=g（-2）=m² +4m-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．