Question

9．正四面體ABCD的棱長為4，內(nèi)切球的表面積為$\frac{8π}{3}$．

Answer 1

分析 作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內(nèi)切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．

解答 解：如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心，正四面體的棱長為4，
所以O(shè)E為內(nèi)切球的半徑，設(shè)OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
AE=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（$\frac{4\sqrt{6}}{3}$-R）²+$\frac{16}{3}$
解得，R=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$．OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則其內(nèi)切球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以四面體的內(nèi)切球的表面積為4π•$\frac{6}{9}$=$\frac{8π}{3}$．
故答案為：$\frac{8π}{3}$．

點評 本題考查正四面體的內(nèi)切球半徑的求法，考查內(nèi)切球的表面積的求法，正確求出半徑是關(guān)鍵．