Question

4．已知定點A（3，1），P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$上的任一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點，則|PF₂|+|PA|的最小值為10-5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓的定義結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可求出表達式的最小值．

解答 解：因為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的a=5，b=3，c=4，所以F₁（-4，0），
|F₁A|=$\sqrt{（3+4）^{2}+{1}^{2}}$=5$\sqrt{2}$
由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₂|+|PA|+|F₁A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₂|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₁A|=10-5$\sqrt{2}$，
∴|PF₂|+|PA|的最小值為10-5$\sqrt{2}$，
故答案為：10-5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，橢圓定義的應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法．