Question

3．在極坐標系中已知圓C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$與直線 L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0
（1）將直線L和圓C的極坐標方程化為直角坐標方程．
（2）求圓C上的點到直線L的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線L的直角坐標方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圓C的直角坐標方程．
（2）圓C的圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$，求出圓心C到直線的距離，由此能求出圓C上的點到直線L的最短距離．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵直線 L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直線L的直角坐標方程為：3x+4y+6=0，
∵圓C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圓C的直角坐標方程為：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圓C：（x-2）²+（y-2）²=2的圓心C（2，2），半徑r=$\sqrt{2}$，
圓心C（2，2）到直線3x+4y+6=0的距離d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圓C上的點到直線L的最短距離為4$-\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線和C的極坐標方程化為直角坐標方程的求法，考查圓上的點到直線的最短距離的求法，解題時要注意點到直線距離公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理運用．