Question

已知點P（-1，

3

2

）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓E上兩個動點，

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，λ≠2）．求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得c=1，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用點差法能證明AB的斜率為定值

1

2

．

解答： （1）∵PF₁⊥x軸，∴F₁（-1，0），c=1，F(xiàn)₂（1，0），
∴|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，|PF₁|=

02+( 3 2 )2

=

3

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=λ

PO

，得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ），
又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
①式代入得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

．
∴直線AB的斜率為定值

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．