Question

已知函數(shù)f（x）=lg（

2x

2+x

+a），其中a為常數(shù)，且a≥-2．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，①求a的值；②求函數(shù)g（x）=f（x）-lg（m-x）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由

2x

2+x

+a＞0，可得

(a+2)x+2a

x+2

＞0，分類討論求得此不等式的解集，可得函數(shù)的定義域．
（2）①由于函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0，化簡可得 （2+a²）x²-4a²=x²-4，可得

(2+a)2=1 4a2=4

，由此求得a的值．
②由以上可得，f（x）=lg

x-2

x+2

，令g（x）=0，可得m=x+

x-2

x+2

，令t=x+2 （t＞4，或 t＜0），可得m+1=t-

4

t

．畫出函數(shù)y=m+1，和 y=t-

4

t

的圖象，數(shù)形結(jié)合求得這兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，可得g（x）的零點個數(shù)．

解答： 解：（1）由

2x

2+x

+a＞0，
可得

(a+2)x+2a

x+2

＞0，
當a=-2時，不等式即

-4

x+2

＞0，
求得x＜-2，
故函數(shù)的定義域為（-∞，-2）．
當a＞-2時，由于-2-（-

2a

a+2

）=

-4

a+2

＜0，∴-2＜-

2a

a+2

，
故不等式的解集為
{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}，
故函數(shù)的定義域為{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}．
綜上所述，當a=-2時，函數(shù)f（x）定義域為{x|x＜-2}；
當a＞-2時，函數(shù)f（x）定義域為{x|x＜-2，或 x＞-

2a

a+2

}．
（2）①由于函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0，
即lg（

2x

2+x

+a）+lg（

-2x

2-x

+a）=lg[（

2x

2+x

+a）（

-2x

2-x

+a）=0，
∴（

2x

2+x

+a）（

-2x

2-x

+a）=1，化簡可得 （2+a²）x²-4a²=x²-4，∴

(2+a)2=1 4a2=4

，求得a=-1．
②由以上可得，f（x）=lg（

2x

2+x

+a）=lg

x-2

x+2

，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-lg（m-x）=lg

x-2

x+2

-lg（m-x）．
令g（x）=0，可得 lg

x-2

x+2

=lg（m-x），即

x-2

x+2

=m-x，即m=x+

x-2

x+2

 （x＜-2，或 x＞2）．
令t=x+2 （t＞4，或 t＜0），則m=（t-2）+

t-4

t

=t-

4

t

-1，即m+1=t-

4

t

．
畫出函數(shù)y=m+1，和 y=t-

4

t

的圖象，如圖所示：
當m+1≤3時，函數(shù)y=m+1，和 y=t-

4

t

的圖象只有一個交點，函數(shù)g（x）僅有一個零點；
當m+1＞3時，函數(shù)y=m+1，和 y=t-

4

t

的圖象有兩個交點，函數(shù)g（x）有兩個零點．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域和奇偶性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎題．