【題目】在四棱錐中， ， ， ， ， 是棱的中點，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析；（2）余弦值為.

【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，先找線線垂直， ， ，所以，

以，再由得到線面垂直；（2）由空間向量坐標系的方法，得到兩個半平面的法向量，由向量的夾角公式得到二面角的余弦值.

解析：

（Ⅰ）取中點，連接，

由已知， ，故為平行四邊形.

所以，因為，故.

又，所以，

，所以.

由已知可求， ，所以，所以.

又，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又，

以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），可得， ， ， .

由為棱的中點，得.

向量， ， ， .

由點在棱上，設， .

故

.

由，得，

因此， ，解得.

即.

設為平面的法向量，則即

不妨令，可得為平面的一個法向量.

取平面的法向量，

則

.

易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】【2018屆江西省南昌市高三第一輪】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若為邊上的中線， ， ，求的面積．

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【題目】在如圖所示的幾何體中， ， ， 平面，在平行四邊形中， ， ， ．

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的極坐標方程為，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為的正半軸，建立平面直角坐標系.

（1）若曲線為參數(shù)）與曲線相交于兩點，求；

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【題目】某超市在2017年五一正式開業(yè)，開業(yè)期間舉行開業(yè)大酬賓活動，規(guī)定：一次購買總額在區(qū)間內(nèi)者可以參與一次抽獎，根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)參與一次抽獎的顧客每次購買金額分布情況如下：

（1）求參與一次抽獎的顧客購買金額的平均數(shù)與中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留到整數(shù)）；

（2）若根據(jù)超市的經(jīng)營規(guī)律，購買金額與平均利潤有以下四組數(shù)據(jù)：

試根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立關于的線性回歸方程，并根據(jù)（1）中計算的結(jié)果估計超市對每位顧客所得的利潤.

參考公式： ， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展，居民收入逐年增長.該地一建設銀行統(tǒng)計連續(xù)五年的儲蓄存款（年底余額）得到下表：

年份

儲蓄存款

（千億元）

為便于計算，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理（令， ），得到下表：

時間

儲蓄存款

（Ⅰ）求關于的線性回歸方程；

（Ⅱ）通過（Ⅰ）中的方程，求出關于的回歸方程；

（Ⅲ）用所求回歸方程預測到年年底，該地儲蓄存款額可達多少？

附：線性回歸方程，其中， .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知長方體，直線與平面所成角為垂直于點為的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.

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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以該直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（2）設點，直線與曲線相交于兩點，且，求實數(shù)的值.

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【題目】有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有以上的把握認為“桔柚直徑與所在基地有關”？

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù) (同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)；

（3）記甲基地直徑在范圍內(nèi)的五個桔柚分別為，現(xiàn)從中任取二個，求含桔柚的概率.

附： ， .

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