Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4$\sqrt{5}$．
（1）設(shè)M是PC上任意一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面BDM，若存在，求出$\frac{MC}{PC}$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由已知可得AD²+BD²=AB²，得到AD⊥BD．再由平面與平面垂直的性質(zhì)可得BD⊥平面PAD，進(jìn)一步得到平面MBD⊥平面PAD；
（2）過(guò)P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，得到PO為四棱錐P-ABCD的高，求出四邊形ABCD的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐P-ABCD的體積；
（3）存在M點(diǎn)滿足條件，此時(shí)$\frac{MC}{PC}=\frac{1}{3}$．連接AC交BD于G點(diǎn)，由AB∥CD，得$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CD}=2$．當(dāng)PA∥平面BDM時(shí)，得GM∥PA．從而得到$\frac{MC}{PC}=\frac{CG}{AC}=\frac{1}{3}$．

解答 （1）證明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=$4\sqrt{5}$，∴AD²+BD²=AB²．
故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD；
（2）解：過(guò)P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
因此PO為四棱錐P-ABCD的高，
又△PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．
因此PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4=2\sqrt{3}$．
在底面四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=2DC，
∴四邊形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
此即為梯形ABCD的高，
∴四邊形ABCD的面積為$S=\frac{2\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{2}×\frac{8\sqrt{5}}{5}=24$．
故${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×24×2\sqrt{3}=16\sqrt{3}$；
（3）存在M點(diǎn)滿足條件，此時(shí)$\frac{MC}{PC}=\frac{1}{3}$．
證明如下：連接AC交BD于G點(diǎn)，由AB∥CD，得△ABG∽△CDG，
故$\frac{AG}{CG}=\frac{AB}{CD}=2$．
當(dāng)PA∥平面BDM時(shí)，PA?平面PAC，面PAC∩平面BDM=GM，
∴GM∥PA．
∴$\frac{MC}{PC}=\frac{CG}{AC}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面、平面與平面垂直的判定，考查了棱柱、棱錐及棱臺(tái)體積的求法，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的求解方法，是中檔題．