Question

【題目】已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（2，1）．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線(xiàn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（2，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，

設(shè)直線(xiàn)方程為：x+y=a，將P（2，1）代入得：a=3，

故直線(xiàn)方程是：x+y﹣3=0

（2）解：由題意設(shè)直線(xiàn)的截距式方程為 =1（a，b＞0），

∵直線(xiàn)過(guò)P（2，1），∴ + =1，

∴1= + ≥2 ，∴ab≥8，

當(dāng)且僅當(dāng) = 即a=4且b=2時(shí)取等號(hào)，

∴△AOB的面積S= ab≥4，

∴△AOB面積的最小值為4，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為 =1，

化為一般式方程可得x+2y﹣4=0

【解析】（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程，代入P點(diǎn)，求出即可；（2）由題意設(shè)直線(xiàn)的截距式方程為 =1（a，b＞0），可得 + =1，由基本不等式可得ab≥8，可得△AOB的面積S≥4，可得此時(shí)直線(xiàn)的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解截距式方程的相關(guān)知識(shí)，掌握直線(xiàn)的截距式方程：已知直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中．