【題目】已知△ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0,∠A的角平分線所在的直線方程為y=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2).
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)又過點(diǎn)C作直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)M,N,求△MON的面積最小值及此時(shí)直線l的方程.
【答案】
(1)解:因?yàn)辄c(diǎn)A在BC邊上的高x﹣2y+1=0上,又在∠A的角平分線y=0上,所以解方程組 得A(﹣1,0).
∵BC邊上的高所在的直線方程為x﹣2y+1=0,
∴kBC=﹣2,
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),所以直線BC的方程為2x+y﹣4=0,
∵kAC=﹣1,∴kAB=﹣kAC=1,所以直線AB的方程為x+y+1=0,
解方程組 得B(5,﹣6),
故點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(﹣1,0),(5,﹣6).
(2)解:依題意直線的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:y﹣2=k(x﹣1)(k<0),則 ,所以 ,
當(dāng)且僅當(dāng)k=﹣2時(shí)取等號(hào),所以(S△MON)min=4,此時(shí)直線l的方程是2x+y﹣4=0.
【解析】(1)列方程組 求出A點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)兩直線垂直的條件求出BC、AB所在的直線方程,然后解方程組 得B的坐標(biāo);(2)若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn),說明直線的斜率小于0,設(shè)出斜率根據(jù)直線過的C點(diǎn),寫出直線方程,求出△MON面積的表達(dá)式,利用基本不等式求出面積的最小值,即可得到面積最小值的直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0.
(1)求a取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=f(x)﹣f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.
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【題目】已知直線過定點(diǎn)P(2,1).
(1)求經(jīng)過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程;
(2)若過點(diǎn)P的直線l與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.
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【題目】設(shè)橢圓C: 的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°, .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)如果|AB|= ,求橢圓C的方程.
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【題目】一條光線經(jīng)過P(2,3)點(diǎn),射在直線l:x+y+1=0上,反射后穿過點(diǎn)Q(1,1).
(1)求入射光線的方程;
(2)求這條光線從P到Q的長度.
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=n(n+1),
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
(2)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn .
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足3(n+1)an=nan+1(n∈N*),且a1=3,
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若 = ,求證: ≤ + +…+ <1.
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【題目】已知遞增的等差數(shù)列{an},首項(xiàng)a1=2,Sn為其前n項(xiàng)和,且2S1 , 2S2 , 3S3成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得 M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.
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