Question

12．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），其中a＞0且a≠1．
（1）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（2）若a＞1，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
則f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）若a＞1，則由f（x）＞0．得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
即log_a（x+1）＞log_a（1-x），
即x+1＞1-x，則x＞0，
∵定義域?yàn)椋?1，1），
∴0＜x＜1，
即不等式的解集為（0，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．