Question

3．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，BA=BS=4．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角A-SB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，從而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能證明BD⊥平面SAD．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，過(guò)D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2$\sqrt{3}$，∴∠SDA=120°，
SA=$\sqrt{12+12-2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×120°}$=6，
∵底面ABCD為平行四邊形，∠DBA=60°，BA=BS=4．
∴cos60°=$\frac{B{D}^{2}+16-12}{2BD•4}$，解得BD=2，
∴AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
∵SD²+BD²=SB²，∴BD⊥SD，
∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．
解：（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，
過(guò)D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），C（-2$\sqrt{3}$，2，0），S（-$\sqrt{3}$，0，3），
$\overrightarrow{SA}$=（3$\sqrt{3}$，0，-3），$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{3}，2，-3$），$\overrightarrow{SC}$=（-$\sqrt{3}$，2，-3），
設(shè)平面ABS的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=3\sqrt{3}x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}x+2y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
設(shè)平面BCS的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=\sqrt{3}a+2b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=-\sqrt{3}a+2b-3c=0}\end{array}\right.$，取b=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，2），
設(shè)二面角A-SB-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\sqrt{13}}$=$\frac{5\sqrt{273}}{91}$．
∴二面角A-SB-C的余弦值為$\frac{5\sqrt{273}}{91}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．