Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，若，則稱為的“不動點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”。記集合

（1）已知，若是在上單調(diào)遞增函數(shù)，是否有？若是，請證明。

（2）記表示集合中元素的個數(shù)，問：

若函數(shù)，若,則是否等于0？若是，請證明

若，試問：是否一定等于1？若是，請證明

 

Answer 1

【答案】

(1) (2),是不一定等于1。

【解析】

試題分析：（1）證明：先證 任取，則

再證 任取

若，不妨設(shè)

由單調(diào)遞增可知： 與 矛盾

同理也矛盾，所以

綜上：

（2）①若 由于無實(shí)根 則對任意實(shí)數(shù)x，

從而 故無實(shí)根

同理若對任意實(shí)數(shù)x， ，從而 

故也無實(shí)根

②不妨設(shè)是B中唯一元素 則

令 那么 而

故 說明t也是的不動點(diǎn)

由于 只有唯一的不動點(diǎn)  故 即

這說明t也是的不動點(diǎn)，從而存在性得證

以下證明唯一性：若還有另外一個不動點(diǎn)m，即

則 這說明還有另外一個穩(wěn)定點(diǎn)m

與題設(shè)矛盾。

考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)的新定義的運(yùn)用。

點(diǎn)評：結(jié)合新定義，和已學(xué)的函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，來分析函數(shù)的最值， 同時對于不動點(diǎn)的問題，要加以轉(zhuǎn)化為方程根的問題來處理，屬于中檔題。