Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義，證明

an+3

an-1+3

=2(n≥2)即可；
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n+3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）證明：由S_n=2a_n-3n，得S_n-1=2a_n-1-3（n-1）（n≥2），
則有a_n=2a_n-2a_n-1-3a_n+3=2（a_n-1+3）（n≥2），
∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3，
∴a₁+3=6≠0，
由此可得a₂+3=12≠0，以此類推a_n+3≠0，
∴

an+3

an-1+3

=2(n≥2)，
∴數(shù)列{a_n+3}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（2）解：∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3．
由（1）知an+3=(a1+3)•2n-1，∴an=3•2n-3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：證明數(shù)列是等比數(shù)列，定義是根本，求數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．