【題目】如圖,曲線Γ由曲線C1: (a>b>0,y≤0)和曲線C2: (a>0,b>0,y>0)組成,其中點F1 , F2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點,點F3 , F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點,
(Ⅰ)若F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)如圖,作直線l平行于曲線C2的漸近線,交曲線C1于點A、B,求證:弦AB的中點M必在曲線C2的另一條漸近線上;
(Ⅲ)對于(Ⅰ)中的曲線Γ,若直線l1過點F4交曲線C1于點C、D,求△CDF1面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),∴ a 則曲線Γ的方程為 和 (y>0)
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為y=± ,如圖,設直線l:y=
則 2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0
△=(2m)2﹣42(m2﹣a2)=8a2﹣4m2>0﹣
又由數(shù)形結合知m≥a,
設點A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0)則 ,
∴ ,
∴ ,即點M在直線y=﹣ 上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線C1為 ,點F4(6,0).
設直線l1的方程為x=ny+6(n>0)
由 (4n2+5)y2+48ny+64=0
△=(48n)2﹣4×64(4n2+5)>0n2>1
設C(x3 , y3),D(x4 , y4)由韋達定理:
|y3﹣y4|= .
s△CDF1= |F1F4|×|y3﹣y4|=
令t= ,∴n2=t2+1,s△CDF1=64 ×
∵t>0,∴ ,當且僅當t= 即n= 時等號成立
∴n= 時,△CDF1面積的最大值
【解析】(Ⅰ)由F2(2,0),F(xiàn)3(﹣6,0),可得) a(Ⅱ)曲線C2的漸近線為± ,如圖,設點A(x1 , y1),B(x2 , y2),M(x0 , y0),設直線l:y= ,與橢圓方程聯(lián)立化為2x2﹣2mx+(m2﹣a2)=0,利用△>0,根與系數(shù)的關系、中點坐標公式,只要證明y0=﹣ 即可.(Ⅲ)設直線l1的方程為x=ny+6(n>0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質即可得出.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣ )+cosx+a(a∈R,a是常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若a=0,作出y=f(x)在[﹣π,π]上的圖象;
(3)若x∈[﹣ , ]時,f(x)的最大值為1,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從一批柚子中,隨機抽取100個,獲得其重量(單位:克)數(shù)據(jù)按照區(qū)間,,,進行分組,得到概率分布直方圖,如圖所示.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算抽取的100個柚子的重量眾數(shù)的估計值.
(2)用分層抽樣的方法從重量在和的柚子中共抽取5個,其中重量在的有幾個?
(3)在(2)中抽出的5個柚子中,任取2人,求重量在的柚子最多有1個的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年月日,“國際教育信息化大會”在山東青島開幕.為了解哪些人更關注“國際教育信息化大會”,某機構隨機抽取了年齡在-歲之間的人進行調查,并按年齡繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,其分組區(qū)間為:,,,,,.把年齡落在區(qū)間和內的人分別稱為“青少年”和“中老年”.
關注 | 不關注 | 合計 | |
青少年 | |||
中老年 | |||
合計 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的中位數(shù)(保留兩位小數(shù))和眾數(shù);
(2)根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“中老年”比“青少年”更加關注“國際教育信息化大會”;
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(,是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若,當時,求函數(shù)的最大值;
(3)若,且,比較:與.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且滿足4nSn=(n+1)2an(n∈N*).a1=1
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)設bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 求證:Tn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點B沿棱柱側面(經過棱AA1)到達頂點C1,與AA1的交點記為M.求:
(1)三棱柱側面展開圖的對角線長;
(2)從B經M到C1的最短路線長及此時的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=b(sinC+cosC).
(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A= ,D為△ABC外一點,DB=2,DC=1,求四邊形ABDC面積的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com