Question

1．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{3{a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求滿足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整數(shù)n的值；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，問是否存在正整數(shù)m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，求出所有的正整數(shù)對（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列．分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）①當n為奇數(shù)時，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：$2×2×{3}^{\frac{n+1}{2}-1}$=n+n+2，化為：$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，令f（x）=2×${3}^{\frac{x-1}{2}}$-x-1（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．②當n為偶數(shù)時，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：2（n+1）=2$2×{3}^{\frac{n}{2}-1}$+2×${3}^{\frac{n+2}{2}-1}$，化為：n+1=${3}^{\frac{n}{2}-1}$+${3}^{\frac{n}{2}}$，即可判斷出不成立．
（3）S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，n∈N^*．S_2n-1=S_2n-a_2n=3^n-1+n²-1．假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得S_2n=mS_2n-1，化為3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），可得1，2，3．分類討論即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{3{a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列．
∴對任意正整數(shù)k，a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1；a_2k=2×3^k-1．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．
（2）①當n為奇數(shù)時，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：$2×2×{3}^{\frac{n+1}{2}-1}$=n+n+2，化為：$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，
令f（x）=2×${3}^{\frac{x-1}{2}}$-x-1（x≥1），
由f′（x）=$\frac{2}{\sqrt{3}}$×$（\sqrt{3}）^{x}$×ln$\sqrt{3}$-1≥$\frac{2}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}ln\sqrt{3}$-1=ln3-1＞0，
可知f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）≥f（1）=0，
∴當且僅當n=1時，滿足$2×{3}^{\frac{n-1}{2}}$=n+1，即2a₂=a₁+a₃．
②當n為偶數(shù)時，由2a_n+1=a_n+a_n+2可得：2（n+1）=2$2×{3}^{\frac{n}{2}-1}$+2×${3}^{\frac{n+2}{2}-1}$，
化為：n+1=${3}^{\frac{n}{2}-1}$+${3}^{\frac{n}{2}}$，
上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，因此不成立．
綜上，滿足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整數(shù)n的值只有1．
（3）S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ+n²-1，n∈N^*．
S_2n-1=S_2n-a_2n=3^n-1+n²-1．
假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得S_2n=mS_2n-1，
則3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1），
∴3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），（*）
從而3-m≥0，∴m≤3，
又m∈N^*，∴m=1，2，3．
①當m=1時，（*）式左邊大于0，右邊等于0，不成立．
②當m=3時，（*）式左邊等于0，∴2（n²-1）=0，解得n=1，∴S₂=3S₁．
③當m=2時，（*）式可化為3^n-1=（n+1）（n-1），
則存在k₁，k₂∈N^*，k₁＜k₂，使得n-1=${3}^{{k}_{1}}$，n+1=${3}^{{k}_{2}}$，且k₁+k₂=n-1，
從而${3}^{{k}_{2}}-{3}^{{k}_{1}}$=${3}^{{k}_{1}}$$（{3}^{{k}_{2}-{k}_{1}}-1）$=2，∴${3}^{{k}_{2}}$-${3}^{{k}_{1}}$=2，${3}^{{k}_{1}}$=1，
∴k₁=0，k₂-k₁=1，于是n=2，S₄=2S₃．
綜上可知，符合條件的正整數(shù)對（m，n）只有兩對：（2，2），（3，1）．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論方法推理能力與計算能力，屬于難題．