Question

6．在三棱錐P-SBC中，A，D分別為邊SB，SC的中點(diǎn)，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．
（1）求證：平面PSB⊥平面ABCD；
（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求證：l∥BC．

Answer 1

分析 （1）由已知及勾股定理可證BC⊥SB，結(jié)合已知PA⊥BC，可證BC⊥平面PSB，從而可證平面PSB⊥平面ABCD；
（2）可證BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可證明l∥BC．

解答 證明：（1）∵A，D分別為邊SB，SC的中點(diǎn)，且BC=8，
∴AD∥BC且AD=4，
∵AB=SA=3，CD=SD=5，
∴SA²+AD²=SD²，
∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，
∴BC⊥SB，…（3分）
∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB?平面PSB
∴BC⊥平面PSB，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PSB⊥平面ABCD； …（7分）
（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，
所以l∥BC． …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的性質(zhì)，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．