Question

【題目】已知圓與拋物線(xiàn)有一條斜率為1的公共切線(xiàn).

（1）求.

（2）設(shè)與拋物線(xiàn)切于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)過(guò)作兩條關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)的弦，.連接.

①求證：；

②設(shè)面積為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）①證明見(jiàn)解析，②

【解析】

（1）設(shè)切線(xiàn)為，其與圓相切，列方程可得可得的值，又與拋物線(xiàn)相切，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，，結(jié)合，可求出的值；

（2）①由（1）可得切點(diǎn)為，故，設(shè)直線(xiàn)方程為，點(diǎn)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得利用與關(guān)于對(duì)稱(chēng)得到，聯(lián)立與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得，即可證明；②求出以及到的距離，表示出，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可．

（1）設(shè)切線(xiàn)為.

∵直線(xiàn)與圓相切

∴，

解得或，

聯(lián)立，

得，

由，得.

結(jié)合可知：，；

（2）①由上述方程知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的切點(diǎn)為，故，

設(shè)直線(xiàn)方程為，點(diǎn)

∴①

∵與關(guān)于對(duì)稱(chēng)

∴

即：②

聯(lián)立與拋物線(xiàn)方程，

，化簡(jiǎn)整理得：

∴，，，

代入②式整理得，

∴ ；

②由①知，方程為，

結(jié)合條件及可知，

又

到的距離

∴.

考慮其中，

，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)的最大值為：