Question

2．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$（a＞0）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 因為表達式中含有參數(shù)，所以要對參數(shù)進行分類討論，最后再綜合．

解答 解：該極限值與a的取值有關，分類討論如下：
當a=1時，$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0恒成立，所以極限為0，
當a＞1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-{a}^{-1}}{1+{a}^{-n}}$=a-$\frac{1}{a}$；
當0＜a＜1時，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0，
綜合以上討論，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$，
故填：$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了極限及其運算，對于含參的極限問題應對參數(shù)進行分類討論，屬于中檔題．