Question

12．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），如果對于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知中對于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，分0＜a＜1和a≥1兩種情況討論滿足條件的a值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：∵對于任意的x∈[$\frac{1}{3}$，4]，都有-1≤f（x）≤1成立，
∴-1≤log_a$\frac{1}{3}$≤1，且-1≤log_a4≤1，
即${log}_{a}\frac{1}{a}$≤log_a$\frac{1}{3}$≤log_aa，且${log}_{a}\frac{1}{a}$≤log_a4≤log_aa，
若0＜a＜1，則$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{3}$≥a，且$\frac{1}{a}$≥4≥a，解得：0＜a≤$\frac{1}{4}$，
若a≥1，則$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{3}$≤a，且$\frac{1}{a}$≤4≤a，解得：a≥4，
綜上所述，0＜a≤$\frac{1}{4}$，或a≥4．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．