Question

2．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，若α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）＞f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 可設(shè)x∈（0，1），根據(jù)f（x）在R上為偶函數(shù)及f（x+2）=f（x）便可得到：f（x）=f（-x）=f（-x+2），可設(shè)x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，根據(jù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)便可得出f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增．而由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角便可得出sinα＞cosβ，從而根據(jù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)即可得出f（sinα）＞f（cosβ）．

解答 解：設(shè)x∈（0，1），根據(jù)條件，f（x）=f（-x）=f（-x+2），-x+2∈（1，2）；
若x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，則：-x₁+2＞-x₂+2；
∵f（x）在（1，2）上是減函數(shù)；
∴f（-x₁+2）＜f（-x₂+2）；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)；
α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{2}＞α＞\frac{π}{2}-β＞0$；
∴$sinα＞sin（\frac{π}{2}-β）$；
∴sinα＞cosβ，sinα，cosβ∈（0，1）；
∴f（sinα）＞f（cosβ）．
故選：A．

點評 考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程：設(shè)x₁＜x₂，通過條件比較f（x₁）與f（x₂），增函數(shù)和減函數(shù)定義的運用，銳角三角形的兩個銳角的和大于$\frac{π}{2}$，正弦函數(shù)的單調(diào)性．