Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（2a+1）x+（4a-2）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=3處取得極值，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≤

3

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f（x）在x=3處取得極值，得f'（3）=0可得a=2，再得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并分解因式，討論當(dāng)a=

3

2

時(shí)，當(dāng)

1

2

＜a＜

3

2

時(shí)，當(dāng)a≤

1

2

時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=x-(2a+1)+

4a-2

x

=

x2-(2a+1)x+(4a-2)

x

，
∵f（x）在x=3處取得極值，∴f'（3）=0，∴a=2，
∴f(x)=

1

2

x2-5x+6lnx，∴f′(x)=

x2-5x+6

x

，
∴f(1)=-

9

2

，f′(1)=2，
故曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+

9

2

=2(x-1)，
即4x-2y-13=0．
（Ⅱ）f′(x)=x-(2a+1)+

4a-2

x

=

x2-(2a+1)x+(4a-2)

x

=

(x-2)[x-(2a-1)]

x

當(dāng)a=

3

2

時(shí)，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)

2a-1＞0 2a-1＜2

，即

1

2

＜a＜

3

2

時(shí)，f（x）在（0，2a-1）上是增函數(shù)，
在（2a-1，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)

2a-1≤0 2a-1＜2

，即a≤

1

2

時(shí)，f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，
在（2，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求極值、單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查求導(dǎo)的運(yùn)算和解不等式的運(yùn)算能力，屬于中檔題．