Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^2x-$\frac{5}{2}$•2^x+1-6
（1）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x（1≤t≤16），則y=f（x）=t²-5t-6，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最值；
（2）運(yùn)用換元法和參數(shù)分離，可得a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．運(yùn)用對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：（1）令t=2^x（1≤t≤16），則y=f（x）=t²-5t-6，
對(duì)稱軸t=$\frac{5}{2}$，當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，即x=log₂$\frac{5}{2}$，取得最小值-$\frac{49}{4}$；
當(dāng)t=1時(shí)，y=-10，當(dāng)t=16時(shí)，y=170．
則x=4時(shí)，取得最大值170．
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，
令t=2^x（1≤t≤16），
即為t²-5t+6-at≥0，即有a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．
由于t+$\frac{6}{t}$-5在[1，$\sqrt{6}$）遞減，在（$\sqrt{6}$，16]遞增，
當(dāng)t=1時(shí)，t+$\frac{6}{t}$-5=2；當(dāng)t=16時(shí)，t+$\frac{6}{t}$-5=$\frac{91}{8}$．
即有t=16取得最大值．
則a≤$\frac{91}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的最值的求法，不等式成立的條件，注意運(yùn)用參數(shù)分離，屬于中檔題和易錯(cuò)題．