Question

3．已知函數f（x）=2^2x-$\frac{5}{2}$•2^x+1-6
（1）當x∈[0，4]時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x（1≤t≤16），則y=f（x）=t²-5t-6，討論對稱軸和區(qū)間的關系，可得最值；
（2）運用換元法和參數分離，可得a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．運用對號函數的單調性，可得最大值，進而得到a的范圍．

解答 解：（1）令t=2^x（1≤t≤16），則y=f（x）=t²-5t-6，
對稱軸t=$\frac{5}{2}$，當t=$\frac{5}{2}$時，即x=log₂$\frac{5}{2}$，取得最小值-$\frac{49}{4}$；
當t=1時，y=-10，當t=16時，y=170．
則x=4時，取得最大值170．
（2）若?x∈[0，4]，使f（x）+12-a•2^x≥0成立，
令t=2^x（1≤t≤16），
即為t²-5t+6-at≥0，即有a≤t+$\frac{6}{t}$-5的最大值．
由于t+$\frac{6}{t}$-5在[1，$\sqrt{6}$）遞減，在（$\sqrt{6}$，16]遞增，
當t=1時，t+$\frac{6}{t}$-5=2；當t=16時，t+$\frac{6}{t}$-5=$\frac{91}{8}$．
即有t=16取得最大值．
則a≤$\frac{91}{8}$．

點評 本題考查指數函數的單調性的運用，考查二次函數的最值的求法，不等式成立的條件，注意運用參數分離，屬于中檔題和易錯題．