Question

18．把正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，則下列四個(gè)結(jié)論
①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面CBD成60°角；④AB與CD所成角為45°，
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 取AC的中點(diǎn)E，連接DE，BE，根據(jù)正方形可知EB⊥AC，ED⊥AC，則∠BED為二面角B-AC-D的平面角，在三角形BDE中求出BD的長(zhǎng)．然后求出所求角的大小

解答 解：取BD的中點(diǎn)E，則AE⊥BD，CE⊥BD．?∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故①正確．
AD=DC=AB=BC=a，
取AC的中點(diǎn)E，連接DE，BE，DE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵ABCD是正方形，∴EB⊥AC，ED⊥AC，
∴∠BED為二面角B-AC-D的平面角，∴∠BED=90°
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=a．
所以△ADC是正三角形，故②正確；
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故③錯(cuò)誤．?
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，?
則A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{1}{2}$
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，故④錯(cuò)誤．
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問(wèn)題，主要考查在折疊問(wèn)題中考查兩點(diǎn)間的距離，判定三角形的形狀．關(guān)鍵是折疊問(wèn)題要注意分清在折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)變．