Question

5．已知定義域為R的奇函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為y=f′（x），當x≠0時，xf′（x）-f（x）＜0，若$a=\frac{f（e）}{e}$，$b=\frac{f（ln2）}{ln2}$，$c=\frac{f（-3）}{-3}$，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜c＜a
• C． a＜c＜b
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到g（x）為偶函數(shù)，即可判斷．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵xf′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是偶函數(shù)，
∴c=$\frac{f（-3）}{-3}$=g（-3）=g（3），
∵a=$\frac{f（e）}{e}$=g（e），b=$\frac{f（ln2）}{ln2}$=g（ln2），
∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），
∴c＜a＜b，
故選：D．

點評 本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了推理能力，屬于中檔題．