Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）={x^2}+\frac{2a}{x}（x≠0，a∈R）$
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）討論a=0和a≠0，由奇偶性的定義，即可判斷；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）求得導(dǎo)數(shù)，對a討論，當(dāng)a≤0時，當(dāng)0＜a≤1時，當(dāng)1＜a＜8時，當(dāng)a≥8時，運(yùn)用單調(diào)性，可得最小值．

解答 解：（1）①a=0時，f（x）=x²（x≠0），
顯然對定義域內(nèi)的x，都有f（-x）=f（x），
此時f（x）為偶函數(shù)；   
②a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
f（-x）=x²-$\frac{2a}{x}$≠±f（x），
∴a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）a＞0時，f′（x）=2x-$\frac{2a}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-a）}{{x}^{2}}$，
即有f（x）的遞減區(qū)間是（-∞，0）和$（0，\root{3}{a}]$，
遞增區(qū)間為$[\root{3}{a}，+∞）$；
（3）由于f′（x）=2x-$\frac{2a}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-a）}{{x}^{2}}$，
①當(dāng)a≤0時，f（x）在[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=1+2a；
②當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在[1，2]上遞增，f（x）_min=f（1）=1+2a；
③當(dāng)1＜a＜8時，$f{（x）_{min}}=f（\root{3}{a}）=3\root{3}{a^2}$；
④當(dāng)a≥8時，f（x）在[1，2]上遞減，f（x）_min=f（2）=4+a．
綜上可得，$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{1+2a，a≤1}\\{3\root{3}{a^2}，1＜a＜8}\\{4+a，a≥8}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，屬于中檔題．