Question

12．在直角坐標(biāo)xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，可得直線l的直角坐標(biāo)方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，可得圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，PC⊥l，求出此時(shí)PC的方程，與y=$\sqrt{3}$（x-3）聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}$（x-3）；
圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，直角坐標(biāo)方程x²+y²-2$\sqrt{3}$y=0；
（2）當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，PC⊥l，此時(shí)PC的方程為y-$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
與y=$\sqrt{3}$（x-3）聯(lián)立，可得P（3，0）．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．