Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上為減函數(shù)，故在上恒成立． 1分

所以當(dāng)x∈時(shí)，．

又， 2分

當(dāng)，即時(shí)，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在 ，使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有

”． 5分

由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，，∴．

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”． 6分

①當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，

則，故． 8分

②當(dāng)a<時(shí)，由于在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061406383463944798/SYS201506140639279070465832_DA/SYS201506140639279070465832_DA.024.png">

（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調(diào)性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點(diǎn)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值