Question

在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC邊上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率之和為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  3

  -1
• C、2

  3

• D、2

Answer 1

分析：作出如圖所示的示意圖，可得橢圓與雙曲線有公共的焦距|BC|=2c，在Rt△BCD中算出|CD|=

1

2

|BC|=c且|BD|=

3

2

|BC|=

3

c，利用橢圓的定義算出橢圓的長軸2a=（

3

+1）c，從而得出橢圓的離心率e₁=

3

-1，同樣的方法利用雙曲線的定義算出題中雙曲線的離心率，即可得到所求橢圓與雙曲線的離心率之和．

解答：解：作出示意圖，如圖所示．設(shè)橢圓的長軸長是2a，雙曲線的實軸長是2a'，
根據(jù)題意，可得橢圓與雙曲線有公共的焦距|BC|=2c，
∵CD⊥BD，∠CBA=30°，
∴Rt△BCD中，|CD|=

1

2

|BC|=c，|BD|=

3

2

|BC|=

3

c．
設(shè)橢圓、雙曲線的離心率分別為e₁、e₂
∵點D在橢圓上，∴根據(jù)橢圓的定義得|BD|+|CD|=2a，
即c+

3

c=2a，得到a=

3 +1

2

c，由此可得橢圓的離心率e₁=

c

a

=

3

-1．
∵點D在雙曲線上，可得|BD|-|CD|=2a'，
∴即

3

c-c=2a'，得到a'=

3 -1

2

c，可得雙曲線的離心率e₂=

c

a′

=

3

+1．
因此，橢圓與雙曲線的離心率之和e₁+e₂=（

3

-1）+（

3

+1）=2

3

．
故選：C

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的離心率之和．著重考查了解直角三角形、橢圓和雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．