Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+bsin²x，x∈R，且f（

π

12

）=

3

-1，f（

π

6

）=1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

3

5

，α∈（-π，

π

3

），求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)已知條件建立方程組，解得a和b的值，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式，再對(duì)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，在利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）通過函數(shù)關(guān)系式中角的恒等變換求出函數(shù)的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=asinxcosx+bsin²x，由關(guān)系式建立方程組得：

f( π 12 )= 3 -1 f( π 6 )=1

解得

a=2 3 b=-2

…（2分）
f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin(2x+

π

6

)-1…（4分）
令：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（6分）
（Ⅱ）由f(

α

2

)=

3

5

得sin(α+

π

6

)=

4

5

，…（8分）
α+

π

6

∈(-

5π

6

，

π

2

)，
cos(α+

π

6

)=

3

5

…（10分）
sinα=sin(α+

π

6

-

π

6

)=

3

2

sin(α+

π

6

)-

1

2

cos(α+

π

6

)=

4 3 -3

10

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用方程組求得a和b的值，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式，利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．角的恒等變換，求三角函數(shù)的值．