Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（

1

x

）且當x∈[

1

π

，1]時，f（x）=lnx，若當x∈[

1

π

，π]時，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  lnπ

  π

  ，0]
• B、[-πl(wèi)nπ，0]
• C、[-

  1

  n

  ，

  lnπ

  π

  ]
• D、[-

  n

  2

  ，-

  1

  π

  ]

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：數(shù)形結合,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意先求出設x∈[1，π]上的解析式，再用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象畫出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有交點時實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設x∈[1，π]，
則

1

x

∈[

1

π

，1]，
因為f（x）=f（

1

x

）且當x∈[

1

π

，1]時，
f（x）=lnx，
所以f（x）=f（

1

x

）=ln

1

x

=-lnx，
則f（x）=

lnx，x∈[ 1 π ，1] -lnx，x∈[1，π]

，
在坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
因為函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有交點，
所以直線y=ax與函數(shù)f（x）的圖象有交點，
由圖得，直線y=ax與y=f（x）的圖象相交于點（

1

π

，-lnπ），
即有-lnπ=

a

π

，解得a=-πl(wèi)nπ．
由圖象可得，實數(shù)a的取值范圍是：[-πl(wèi)nπ，0]
故選：B．

點評：本題考查了方程的根的存在性以及根的個數(shù)的判斷，解答此題的關鍵是利用數(shù)形結合，使復雜的問題簡單化．