已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)2是拋物線C2：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P（
2
3
，m）是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|PF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1與C2的方程；
（Ⅱ）過F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，T為直線x=4上任意一點(diǎn)，且T不在x軸上．
（i）求
F2M
•
F2N
的取值范圍；
（ii）若OT恰好一部分線段MN，證明：TF2⊥MN．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件建立關(guān)系式
2
3
+
P
2
=
5
3
求出P的值，進(jìn)一步確定拋物線方程．進(jìn)一步利用
a2-b2=1
(
2
3
)2
a2
+
(
2
6
3
)2
b2
=1
求得a和b的值，確定橢圓的方程．
（Ⅱ）（i）①若直線的斜率不存在，則MN的直線方程為：x=1．此時(shí)M(1，
3
2
)，N（1，-
3
2
）進(jìn)一步求出
F2M
•
F2N
=-
9
4

②若直線MN的斜率存在，設(shè)直線的方程為：y=k（x-1）設(shè)交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），
則：
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
消去y得到：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0利用根和系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步利用恒等變形求出-3≤
F2M
•
F2N
＜-
9
4
．
（ii）設(shè)線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（xQ，yQ）由（i）得到：xQ=
x1+x2
2
，yQ=k(xQ-1)=
-3k
4k2+3

所以直線OT的斜率：kOT=
yQ
xQ
=-
3
4k
，進(jìn)一步求出OT的直線方程為：y=-
3
4k
x，則直線TF2的斜率為：kTF2=-
1
k
，進(jìn)一步化簡得到；kTF2kMN=-
1
k
•k=-1，從而得到結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P（
2
3
，m）在拋物線上，且|PF2|=
5
3
，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-
P
2
，
所以：
2
3
+
P
2
=
5
3

解得：P=2
所以拋物線的方程為：y2=4x
將點(diǎn)P（
2
3
，m）代入y2=4x
解得：m=
2
6
3
，所以P（
2
3
，
2
6
3
）
點(diǎn)P在橢圓上，且橢圓的焦點(diǎn)F2（1，0），
所以：
a2-b2=1
(
2
3
)2
a2
+
(
2
6
3
)2
b2
=1

解得：a2=4，b2=3
所以：橢圓的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1
（Ⅱ）（i）①若直線的斜率不存在，則MN的直線方程為：x=1．
此時(shí)M(1，
3
2
)，N（1，-
3
2
）
F2M
•
F2N
=-
9
4

②若直線MN的斜率存在，設(shè)直線的方程為：y=k（x-1）設(shè)交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）
則：
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1

消去y得到：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0
x1+x2=
8k2
4k2+3
，x1x2=
4k2-12
4k2+3

所以：
F2M
•
F2N
=(1+k2)[x1x2-（x1+x2）+1]
=-
9
4-
1
1+k2

由于k2≥0
所以：0＜
1
1+k2
≤1
3≤4-
1
1+k2
＜4
-3≤
F2M
•
F2N
＜-
9
4

所以
F2M
•
F2N
的取值范圍：[-3，-
9
4
)
（ii）證明：設(shè)線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（xQ，yQ）
由（i）得到：xQ=
x1+x2
2
，yQ=k(xQ-1)=
-3k
4k2+3

所以直線OT的斜率：kOT=
yQ
xQ
=-
3
4k

OT的直線方程為：y=-
3
4k
x，
得到：T（4，-
3
k
）
直線TF2的斜率為：kTF2=-
1
k

所以；kTF2kMN=-
1
k
•k=-1
則：TF2⊥MN
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：拋物線方程和橢圓方程的確定，圓錐曲線和直線方程的關(guān)系，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，分類討論思想在做題中的應(yīng)用，直線垂直的充要條件的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（1+i）z=2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（　　）
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過點(diǎn)M（1，
a
）向拋物線C：y2=ax的準(zhǔn)線作垂線，垂足為D，若|MD|=|MO|（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則a=（　�。�
A、8B、4C、6D、-8或8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
⊥
b
，求（
a
-
c
）•（
b
-
c
）=0．求|
c
|最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，CF∥EA，且EA=
2
AB=2CF=2
（1）求證：EC⊥平面BDF；
（2）求二面角E-BD-F的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+bsin2x，x∈R，且f（
π
12
）=
3
-1，f（
π
6
）=1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（
α
2
）=
3
5
，α∈（-π，
π
3
），求sinα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-x2+2x，-2≤x≤0
ln
1
x+1
，		0＜x≤2
，若g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、（0，
1
e
）
B、（0，
1
2e
）
C、[
ln3
3
，
1
e
）
D、[
ln3
3
，
1
2e
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1和直線l：y=kx+
2
，則k=1是圓O與直線l相切的（　�。�
A、充要條件
B、充分不必要條件
C、必要不充分條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=3，an=
an-1+2
，bn=an-2，n=2，3，
（Ⅰ）求a2，a3，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性并證明；
（Ⅱ）求證：|an-2|＜
1
4
|an-1-2|（n=2，3，…）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)M，對任意n≥2，有b2b3…bn≤M？若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案