Question

已知正方形ABCD到的頂點A、B在拋物線y²=x上，頂點C、D在直線y=x+4上，求正方形的邊長．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AB的方程為y=kx+b，根據直線AB與CD平行，利用兩平行直線間的距離公式，得|BC|的表達式，聯立直線AB與拋物線方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式，得|AB|的表達式，由|BC|=|AB|，得b的值，代入弦長公式或平行直線間的距離公式中，即得正方形的邊長．

解答： 解：∵AB∥CD，由CD的方程y=x+4，
可設直線AB的方程為y=kx+b，A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），如右圖所示．
聯立y²=x，消去y，整理得x²+（2b-1）x+b²=0，
由韋達定理，得

x1+x2=1-2b x1x2=b2

，
由弦長公式，得|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(1-2b)2-4b2

=

2

•

1-4b

由題意，得直線AB與直線CD間的距離d=|BC|，
即

|b-4|

2

=

2

•

1-4b

，兩邊平方，化簡、整理，得b²+8b+12=0，從而b=-2，或b=-6．
當b=-2時，|AB|=

2

•

1-4(-2)

=3

2

，當b=-6時，|AB|=

2

•

1-4(-6)

=5

2

，
即正方形ABCD的邊長為3

2

或5

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交關系，兩直線的平行關系，解決此類問題的一般步驟是：
（1）設直線方程及交點坐標；
（2）聯立直線方程與圓錐曲線方程，根據題設條件進行變形、化簡，得等量關系；
（3）求解參數．