Question

10．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，若每一項(xiàng)都大于之后各項(xiàng)之和，則q的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列中的任意一項(xiàng)為a，由無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都大于之后各項(xiàng)之和，得到0＜q＜1，且a＞$\frac{aq}{1-q}$，由此能求出q的取值范圍．

解答 解：∵各項(xiàng)為正數(shù)的無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∴q＞0，
設(shè)數(shù)列中的任意一項(xiàng)為a，
∵無(wú)窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都大于之后各項(xiàng)之和，
∴0＜q＜1，∴a＞$\frac{aq}{1-q}$，∴$\frac{q}{1-q}＜1$，
∴q＜1-q，解得q＜$\frac{1}{2}$．
∴0＜q＜$\frac{1}{2}$．
∴q的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．