Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（-1，2），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow$的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-5，+∞）．

Answer 1

分析 可求出向量$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$的夾角為銳角便可得出$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）＞0$，從而進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可得出關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow=（3-λ，4+2λ）$；
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$的夾角為銳角；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow|}＞0$；
∴$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）=3（3-λ）+4（4+2λ）＞0$；
解得λ＞-5；
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-5，+∞）．
故答案為：（-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查向量坐標(biāo)的加法和數(shù)乘運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，知道銳角的余弦值大于0，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．