Question

2．y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域是[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}，\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

Answer 1

分析 把已知等式變形，利用輔助角公式化積，分離y后利用三角函數(shù)的有界性求解不等式得答案．

解答 解：由y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$，得ycosx-2y=sinx+2，
∴sinx-ycosx=-2y-2，
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}sin（x-α）=-2y-2$，
得$sin（x-α）=\frac{-2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，
由正弦函數(shù)的有界性可得：|$\frac{-2y-2}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$|≤1，
即$（-2y-2）^{2}≤{\sqrt{1+{y}^{2}}}^{2}=1+{y}^{2}$，
整理得：3y²+8y+3≤0，
解得：$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}≤y≤\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$．
∴y=$\frac{sinx+2}{cosx-2}$的值域是[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}，\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．
故答案為：[$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}，\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)的有界性，訓(xùn)練了不等式的解法，是中檔題．