Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且E，F(xiàn)，G，H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面EFG；
（2）DH⊥平面AEG．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用平行公理證明BC∥EF，再利用線面平行的判定，證明BC∥平面EFG；
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，證明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，證明DH⊥AG，從而可證DH⊥平面AEG．

解答： 證明：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF，
∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG；
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，DH?平面ABCD，
∴PA⊥DH，即AE⊥DH．
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，線面垂直，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面平行、線面垂直的判定，屬于中檔題．